ভগ্নাংশের ল.সা.গু ও গ.সা.গু নির্ণয়

ভগ্নাংশের ল.সা.গু ও গ.সা.গু নির্ণয়

প্রিয় শিক্ষার্থী তোমাদের মধ্যে যারা গণিতে ভয় পাও শুধু তোমাদের জন্যই আমাদের আয়োজন। নিচে যে কন্টেন্টটি লিখতে যাচ্ছি তা গণিতে পাকাদের সমান্য বিষয়। তাই এই পোষ্টটি শুধু তাদের জন্য যারা গণিতে যথেষ্ট কাঁচা। মন দিয়ে পড়লে বুঝতে পারবে ভাগ্নাংশের ল.সা.গু ও গ.সা.গু বিষয়ে। 

পোষ্টটি যদি ভাল লাগে নিজের স্যোসাল মিডিয়া ওয়ালে শেয়ার করবে আর নিচের বাটনে ক্লিক করে আমাদের ফেইজবুক  পেইজে  লাইক দিবে। 

ই-ভিশন বিডি’র ফেইজবুক পেইজ(link)

সমাধানঃ প্রদত্ত ভগ্নাংশ গুলোর লব হলো- ৫, ৭ ও ৮৭ এবং হর হলো- ৩২, ৮০ ও ১৬

এখন, লব ৫, ৭ ও ৮৭ এর গ.সা.গু.= ১ এবং ল.সা.গু.= ৩০৪৫  

আবার, হর ৩২, ৮০ ও ১৬ এর গ.সা.গু. = ১৬ এবং ল.সা.গু. = ১৬০

ল.সা.গু ও গ.সা.গু. সম্পর্কিত কিছু সূত্র

সূত্র-১. একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা ( দুইটি সংখ্যার গুণফল)= সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. × সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু.

সূত্র-২: দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং তাদের ল.সা.গু দেয়া থাকলে-

সূত্র-৩: দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং গ.সা.গু. দেওয়া থাকলে-

ল.সা.গু. = অনুপাতের ১ ম রাশি x ২ য় রাশি x গ.সা.গু.

প্রয়োগ

১। দুইটি সংখ্যা ৩৬ ও ৯৬ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ও গ.সা.গু কত?

সমাধানঃ এখানে,           ৩৬ = ২×২×৩×৩

এবং,                 ৯৬ = ২×২×২×২×২×৩

∴ গ.সা.গু = ২×২×৩ = ১২

এবং ল.সা.গু = ২×২×২×২×২×৩×৩ = ২৮৮

২। দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১৬ এবং ল.সা.গু ১৯২। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে অপরটি কত? [এলজিআরডি মন্ত্রণালয়ের নলকূপ মেকানিক পদে নিয়োগ পরীক্ষা-২০১১]

ক) ৬০             খ ) ৬৪             গ ) ৬২             ঘ ) ৬৮

শর্ট টেকনিকঃ 

৩। দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটোর ল.সা.গু. ৯৬ হলে গ.সা.গু. কত? [১০ম বিসিএস]

(ক) ৪               (খ) ৮                (গ) ১৬             (ঘ) ২৪

শর্ট টেকনিকঃ

 

৪। দুটি সংখ্যার গুণফল ৪৮০। সংখ্যা দ্বয়ের গ.সা.গু. ১২ হলে ল.সা.গু. কত? [১০ম বিসিএস]

(ক) ২০০           (খ) ৪০             (গ) ১৬             (ঘ) ৪

শর্ট টেকনিকঃ

সাধারণ নিয়মঃ

মনেকরি, 

            সংখ্যাদ্বয় ১২ক ও ১২খ

            ল.সা.গু = ১২কখ

আমরা জানি, 

            ল.সা.গু. × গ.সা.গু, = দুটি সংখ্যার গুণফল

∴ ১২ কখ×১২   = ৪৮০

বা, ১২ কখ        = ৪৮০÷১২

বা, কখ             = ৪০

∴ ল.সা.গু = ৪০

৫। ক একটি মৌলিক সংখ্যা এবং খ, ক দ্বারা বিভাজ্য নয়। ক ও খ এর ল. সা. গু কত? [তুলা উন্নয়ন প্রশাসনিক কর্মকর্তা-৯৭]

ক) ১                 খ) ক+খ           গ) ঘ ) ক-খ

উত্তরঃ কখ

যুক্তিঃ দুটি সংখ্যার একটি মৌলিক হলে তাদের গুণফলই হবে ল.সা.গু।

৬। দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ ও ৪ এবং তাদের ল. সা. গু ১৮০ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক) ৪০ ও ৬০    খ) ৪৫ ও ৫৫    গ) ৪৫ ও ৬০    ঘ) ৬০ ও ৭০

শর্ট টেকনিকঃ

বড় সংখ্যা         = ল. সা. গু ÷ অনুপাতের ছোট সংখ্যা

= ১৮০ ÷ ৩ = ৬০

ছোট সংখ্যা       = ল.সা.গু. ÷ অনুপাতের বড় সংখ্যা

= ১৮০ ÷ ৪ = ৪৫

উত্তর: সংখ্যা দুইটি ৪৫ ও ৬০।

সাধারণ নিয়মঃ

ধরি, ছোট সংখ্যাটি         = ৩ক

এবং বড় সংখ্যাটি          = ৪ক

সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু. = ১২ক

প্রশ্নমতে, ১২ক = ১৮০

বা, ক    = ১৮০ ÷ ১২

= ১৫  

∴ ছোট সংখ্যা = ৩ক = ৩ × ১৫ = ৪৫

এবং বড় সংখ্যা = ৪ ক = ৪ × ১৫ = ৬০

৭। দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৭ এবং তাদের গ.সা.গু. ৬ হলে, সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু কত? [দুর্নীতি দমন ব্যুরো পরিদর্শক-০৪]

ক) ২১০            খ) ১৮০            গ) ১৫০            ঘ) ১২০

শর্ট টেকনিক:

ল.সা.গু.            = অনুপাতের ১ম রাশি × ২য় রাশি × গ.সা.গু.

= ৫ × ৭ × ৬ = ২১০ (উত্তর)

সাধারণ নিয়মঃ

মনে করি,  

   সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫X এবং ৭X

∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = X

এবং ল. সা. গু   = ৩৫X

প্রশ্নমতে,

x = ৬

∴ ল.সা.গু. = ৩৫X = ৩৫ × ৬ = ২১০ (উত্তর)

৮। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?

(ক) ১০             (খ) ১১               (গ) ১২              (ঘ) ১৩

সমাধানঃ যেহেতু বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ থাকবে কাজেই নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে-             (২৭-৩) = ২৪,

( ৪০-৪) = ৩৬

এবং     ( ৬৫-৫)= ৬০- এর গ.সা.গু।

এখানে,             ২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩

৬০ = ২×২×৩ ×৫

∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ = ১২

উত্তরঃ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ১২।

স্মরণীয়: বৃহত্তম বা গরিষ্ঠ সংখ্যা বা সবচেয়ে বেশি কত জনকে ইত্যাদি উল্লেখ থাকলে গ.সা.গু. করতে হয়।(alert-passed)

৯। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৪ থাকবে?

(ক) ১০             (খ) ১১               (গ) ১২              (ঘ) ১৩

সমাধানঃ যেহেতু বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে ভাগশেষ প্রত্যেকবার ৪ থাকবে সেহেতু ১০০-৪ = ৯৬ ও ১৮৪-৪ = ১৮০ কে ভাগ করলে কোন ভাগশেষ থাকবে না। অতএব নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৯৬ এবং ১৮০- এর গ.সা.গু.।

এখানে,             ৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

১৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫

∴ ৯৬ ও ১৮০ এর গ.সা.গু. = ২ x ২ x ৩ = ১২

উত্তরঃ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ১২।

বিঃদ্রঃ প্রিয় শিক্ষার্থী; তোমাদের মনে হতে পারে বৃহত্তম সংখ্যা থাকায় নির্ণেয় সংখ্যাটি বড় হবে যা ল.সা.গু. করে পাওয়া যায়। কিন্তু এখানে তোমাদের যে বিষয়টি বুঝতে হবে তা হলো “কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৪ থাকবে?" অর্থাৎ নির্ণেয় সংখ্যাটি দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করতে হবে। অতএব সংখ্যাটি হবে ১০০ ও ১৮৪ থেকে ছোট যা আমরা গ.সা.গু, এর মাধ্যমে পেয়ে থাকি।(alert-passed)

 

১০। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১০০ ও ১৮৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৪ থাকবে?

(ক) ৪৫০৪        (খ) ৪৬০৪        (গ) ৪৭০৪         (ঘ) ৪৮০৪

সমাধানঃ যেহেতু প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু, তাদের প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য সেহেতু নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু. হতে ৪ বেশি।

১০০ = ২ × ২ × ৫ × ৫

১৮৪ = ২ × ২ × ২ × ২৩

∴ প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৫ × ২৩ = ৪৬০০

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৪৬০০+৪ = ৪৬০৪ (উত্তর)

বিঃ দ্রঃ প্রিয় শিক্ষার্থী, তোমাদের মনে হতে পারে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থাকায় নির্ণেয় সংখ্যাটি ছোট হবে যা গ.সা.গু. করে পাওয়া যায়। কিন্তু এখানে তোমাদের যে বিষয়টি বুঝতে হবে তা হলো “কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৪ থাকবে?" অর্থাৎ নির্ণেয় সংখ্যাটিকে ১০০ ও ১৮৪ দ্বারা ভাগ করতে হবে। অতএব সংখ্যাটি হবে ১০০ ও ১৮৪ থেকে বা ল.সা.গু. এর মাধ্যমে পেয়ে থাকি।(alert-passed)

১১। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২০, ২৫, ৩০, ৩৬ ও ৪৮ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫, ৩১ ও ৪৩ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধানঃ           ২০-১৫ = ৫,

২৫-২০ = ৫,

৩০-২৫ = ৫,

৩৬-৩১ = ৫

৪৮-৪৩ = ৫

অর্থাৎ প্রতি ক্ষেত্রে, ভাজক - ভাগশেষ = ৫; সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যাটি ২০, ২৫, ৩০, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু, অপেক্ষা ৫ কম।

এখানে, ২০ = ২ × ২ × ৫;

২৫ = ৫ × ৫;

৩০ = ২ × ৩ × ৫

৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩;

৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

∴ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩৬০০

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩৬০০ - ৫ = ৩৫৯৫ (উত্তর)।  

 

১২। চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে পরে ৫, ৭, ১২ এবং ১৫ মিনিট অন্তর বাজতে লাগল। ন্যূনতম কতক্ষণ পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

(ক) ৪১০           (খ) ৪২০           (গ) ৩২০           (ঘ) ৫২০

সমাধানঃ ৫, ৭, ১২ ও ১৫- এর ল.সা.গু.- ই হবে নির্ণেয় ন্যূনতম সময়।

এখানে, ৫, ৭, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × ৭ × ৪ = ৪২০

অতএব, ঘণ্টা চারটি ন্যূনতম ৪২০ মিনিট বা ৭ ঘণ্টা পরে পুনরায় একত্রে বাজবে।

উত্তরঃ ৭ ঘণ্টা।

১৩। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১৬, ২৪ ও ৩২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? সমাধান: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১৬, ২৪ ও ৩২- এর ল.সা.গু. থেকে ৫ কম।

১৬ = ২×২×২×২

২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২

∴ ১৬, ২৪ ও ৩২- এর ল.সা.গু. = ২×২×২×২×২×৩ = ৯৬

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৯৬ - ৫ = ৯১ (উত্তর)