সিরিজ বা ধারার যোগফল: ৩০ সেকেন্ডে সমাধান - Math

সিরিজ বা ধারার যোগফল: ৩০ সেকেন্ডে সমাধান

সিরিজ বা ধারার যোগফল থেকে অনেক সময় প্রতিযোগীতামূলক পরীক্ষায় প্রশ্ন আসে। সময় স্বল্পতার কারনে অনেক সময় এই প্রশ্নগুলোর সমাধান আমরা করতে পারি না। অথবা সমাধান করতে গিয়ে অনেক সময়ের অপচয় হয়। 

কিন্তু এই পোষ্টটি পড়ার পর আমাদের বিশ্বাস ৩০ সেকেন্ডের কম সময়ে ধারা বিষয়ক যে কোন সমস্যার সমাধান করতে পারবে। 

নিচে সিরিজ বা ধারার যোগফল বিষয়ক শর্টকাট সূত্র গুলো নিচে দেওয়া হল-

সমান্তর ধারার ক্রমিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সূত্র।

সূত্র-১: `S=\frac n2\times(n+1)`

অথবা, যোগফল = শেষ সংখ্যার অর্ধেক × (শেষ সংখ্যা + ১)

[সূত্রটি কেবল ধারাটি ১ থেকে শুরু হলে প্রযোজ্য হবে অর্থাৎ 1+2+3+-------+n সংখ্যার জন্য]

যেখানে,

n = শেষ সংখ্যা

S = যোগফল 

সূত্রের প্রয়োগ:

১। 1 হতে 100 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? [৮ ও ১৬-তম বিসিএস; বি. আর সি সিনিয়র অফিসার-১৯৯৮। সহকারী রিসার্চ অফিসার-১৯৯৮ সপ্তম বেসরকারী প্রভাষক পরীক্ষা-২০১১। সহকারী পল্লী কর্মকর্তা পদে নিয়োগ পরীক্ষা-২০১২]

অথবা, 1+2+3+4+5----+ 100 = কত?

শর্ট টেকনিক:

যোগফল = শেষ সংখ্যার অর্ধেক × (শেষ সংখ্যা + 1)

= 50 × (100 + 1) [শেষ সংখ্যা ১০০ এর অর্ধেক = ৫০]

= 50 × 101 = 5050

উত্তর: 5050

২। ১ হতে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? [১৫ ও ২৫-তম বিসিএস; হিসাব সহকারী (মেঘনা)-২০১৩]

অথবা, 1+2+3+4+5----+ 99 = কত?

শর্ট টেকনিক:

যোগফল = শেষ সংখ্যার অর্ধেক × (শেষ সংখ্যা + 1)

`=\frac{99}2\times(99+1)`

`=\frac{99}2\times100`

`=99\times50`

`=4950`

উত্তর: 4950

সূত্র-২: যখন ধারটি ১ ভিন্ন শুরু হয়।

[5+6+7+----+n সংখ্যার জন্য।]

সূত্র: `S=\frac n2(n+1)-\frac a2(a+1)`

এখানে,

n = শেষ সংখ্যা।

a = যে সংখ্যা দ্বারা ধারাটি শুরু, তার আগের সংখ্যা।

 

সূত্রের প্রয়োগ:

১। 5 থেকে 35 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

অথবা, 5+6+7+8+----+35

(ক) 600 (খ) 610 (গ) 620 (ঘ) 630

শর্ট টেকনিক:

`S=\frac n2(n+1)-\frac a2(a+1)`

`=\frac{35}2(35+1)-\frac42(4+1)`

`=\frac{35}2\times36-\frac42\times5`

`=35\times18-2\times5`

`=630-10`

`=620’ (উত্তর)

২। 99+98+97+----+40 ধারাটির সমষ্টি কত? [সমাজ সেবা অধিদপ্তর- 2005]

(ক) 4270 (খ) 4150 (গ) 4170 (ঘ) 4165

শর্ট টেকনিক:

ধারাটি লেখা যায়, 40+41+----+97+98+99 = কত?

`S=\frac n2(n+1)-\frac a2(a+1)`

`=\frac{99}2(99+1)-\frac{39}2(39+1)`

`=\frac{99}2\times100-\frac{39}2\times40`

`=99\times50-39\times20`

`=4950-780`

`=4170` (উত্তর)।

সূত্র-৩: ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল নির্ণয় এর শর্ট সূত্র

সূত্র: `S=M^2` [এখানে, ‍M= মধ্য সংখ্যা]

অর্থাৎ যোগফল= মধ্য সংখ্যার বর্গ

`M=\frac{F+L }2` [F= ১ম সংখ্যা , L= শেষ সংখ্যা](alert-success)

 

সূত্রের প্রয়োগ:

১। 1+3+5+----+21 সমান কত হবে? [কলকারখানা ও প্রতিষ্ঠান পরিদর্শন অধিদপ্তর সহকারী পরিদর্শক: ৫]

(ক) ১২২ (খ) ১১৯ (গ) ১২০ (ঘ) ১২১

 

শর্ট টেকনিক:

`S=M^2`

মধ্য সংখ্যা = 1+21=11

`=(11)^2`

`=121` (উত্তর)

বিঃ দ্রঃ মধ্য সংখ্যাটি বের করে নিন মুখে মুখে এবং উত্তর দিন ১০ সেকেন্ডের কম সময়ে।

জেনারেল মেথডঃ

পদ সংখ্যা `=\frac{L-F}d+1` [L=শেষ পদ, F=প্রথম পদ]

`=\frac{21-1}2+1`

`=10+1`

`=11`

 

সমষ্টি `=\frac{L+F}2\times L`

`=\frac{21+1}2\times11`

`=11\times11`

`=121`

সূত্র-৪: ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল নির্ণয় এর শর্ট সূত্র

সূত্র: S = M (M - 1) | এখানে, M = মধ্য সংখ্যা

`M=\frac{F+L}2` [F= ১ম সংখ্যা, L=শেষ সংখ্যা](alert-success)

 

সূত্রের প্রয়োগ:

১। 2 হতে 100 পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

অথবা, 2+4+6+----+100 = ?

(ক) 2500 (খ) 2550 (গ) 2600 (ঘ) 2650

 

শর্ট টেকনিক:

S = M (M - 1)

= 51×50

=2550 (উত্তর)

সূত্র-৫: নামতা আকারে শুরু হওয়া সমান্তর ধারার যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হলো-

সূত্র: `S=M\times\frac L\F` [S= সমষ্টি, M= মধ্য সংখ্যা, L= শেষ সংখ্যা, F= ১ম সংখ্যা]

 

সূত্রের প্রয়োগ:

১। 3+6+9+12+----57=কত?

(ক) ৫৭০ (খ) ৫৮০ গ) ৫৯০ ঘ) ৬০০

 

শর্ট টেকনিক:

`S=M\times\frac L\F`

`=30\times\frac{57}3`

`=30\times19`

`=570`

 

মনে রাখতে হবে মধ্য সংখ্যার মান নির্ণয়ের সূত্র, 

`M=\frac{F+L}2`

`=\frac{3+57}2`

`=30`(alert-success)

 

২। 4+8+12+16+----+52= কত?

(ক) ৫৭০ (খ) ৩৬৪ (গ) ৩৪৬ (ঘ) ৫০০

 

শর্ট টেকনিক:

`S=M\times\frac L\F`

`=28\times\frac{52}4`

`=28\times13`

`=364` (Ans.)

নামতা আকারে শুরু না হওয়া (যে কোনো) সমান্তর ধারার যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হলো-

সূত্র-৬: ধারার n তম পদের সমষ্টি `(s)=\frac n\2\{2a+(n-1)d}`

[যেখানে, a = ১ম পদ; d = সাধারণ অন্তর; n = পদ সংখ্যা]

সূত্র-৭: পদ সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র:

পদ সংখ্যা `n=\frac{L-a}d+1`

 

যেখানে, L = শেষ পদ;

a = ১ম পদ;

d = সাধারণ অন্তর (২য় পদ - ১ম পদ)(alert-success)

 

সূত্র-৮: n তম পদ (সাধারণ পদ)

=a+(n-1)d [d = সাধারণ অন্তর, a = ১ম পদ]

সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ

সূত্রের প্রয়োগ:

১। 5+8+11+14+----+302 = কত?

(ক) ১৫৪৫০ (খ) ১৫৩৫০ (গ) ১৫৮৫০ (ঘ) ১৫৭৫০

শর্ট টেকনিক:

সমষ্টি  `(S)=\frac n\2{2a+(n-1)d\}`

`=\frac{100}\2{2\times5+(100-1)3\}`

`=50\times(10+99\times3)`

`=50\times307`

`=15350` (Ans.)

[এই অংকটিতে উপরের ৭ ও ৮ নং সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে। উল্লেখ্য উপরোক্ত সূত্র দুইটি প্রয়োগ করে পূর্বে আলোচিত সকল অংকের সমাধান করা সম্ভব ছিল কিন্তু উক্ত অংকগুলি শর্ট টেকনিক এর মাধ্যমে সমাধান করা হয়েছে।]

 

২। 5+8+11+14+---- ধারাটির কোন পদ 302? [সপ্তম বেসরকারী প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা-২০১১। সমাজকল্যান সংগঠক পরীক্ষা-২০০৭।; রসায়ন (যমুনা)-২০১৩]

ক) 102 খ) 103 গ) 100 ঘ) 101

শর্ট টেকনিক:

ধরি, n-তম পদ = 302

বা, a + (n-1) d = 302

বা, 5 + (n-1) 3 = 302

বা, 5 + 3n - 3 = 302

বা, 3n= 302-5+3

বা, 3n = 300

বা, n = 100 (উত্তর)

৩। 9+7+5+ ---- ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল -144 হলে, n = কত? [স্বরাষ্ট্র মন্ত্রনালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা পরীক্ষা- ২০০৬; অর্থমন্ত্রনালয়ে জুনিয়র অডিটর পদে নিয়োগ পরীক্ষা-২০১১।]

(ক) 16 (খ) 12 (গ) 14 () 18

সমাধানঃ

আমরা জানি, 

n সংখ্যক পদের যোগফল `=\frac n\2\{2a+(n-2)d\}`

প্রশ্নমতে,

`\frac n\2\{2a+(n-2)d\}=-144`

বা, `n{2.9+(n-1)-2}=-288` [উভয় পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে।]

বা, `n{18-2n+2}=-288`

বা, `n{-2n+20}=-288`

বা, `-2n^2+20n=-288`

বা, `-2(n^2+10n)=-288`

বা, `n^2+10n=144`

বা, `n^2+10n-144=0`

বা, `n^2-18n+8n-144=0`

বা, `n(n-18)+8(n-18=0`

বা, `(n-18) (n+8)=0`

হয়, `(n-18) =0` অথবা, ` (n+8)=0`

বা, `n =18` অথবা, ` n=-8` [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

উত্তর: 18

সূত্র-৯: সমান্তর ধারার বর্গযোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে,

ধারাটি, `1^2+2^2+3^2+4^2+----+n^2` এরকম হলে

সূত্র: ধারার সমষ্টি `(S)=\frac{n\times(n+1)\times\{(n\times2)+1\}}\6` [এখানে, n = শেষ সংখ্যা]

 অর্থাৎ, (শেষ সংখ্যা X শেষ সংখ্যা হতে ১ বেশি X শেষ সংখ্যার দ্বিগুণ হতে ১ বেশি) কে ৬ দ্বারা ভাগ করলে সামান্তর ধারার বর্গের যোগফল পাওয়া যাবে। 

সূত্রের প্রয়োগ:

১। `1^2+3^2+5^2+----+31^2` = কত? [২৪-তম বিসিএস; উপজেলা সমাজ সেবা অফিসার পরীক্ষা-২০০৬]

(ক) ২৫৮ (খ) ২৫৬ (গ) ২৫৪ (ঘ) ১০৪১৬

শর্ট টেকনিক:

ধারার সমষ্টি `(S)=\frac{n\times(n+1)\times\{(n\times2)+1\}}\6`

`(S)=\frac{31\times32\times63}\6` [এখানে শেষ সংখ্যা 31]

`=10416` (Ans.)

 

২। `1^2+3^2+5^2+----+50^2` = কত?

(ক) ৩৫৭২৫ (খ) ৪২৯২৫ (গ) ৪৫৫০০ (ঘ) ৪৭২২৫

শর্ট টেকনিক:

ধারাটির সমষ্টি =`(S)=\frac{50\times51\times101}\6` [এখানে, শেষ সংখ্যা = ৫০]

`= 41925` (উত্তর)

সূত্র-১০: সমান্তর ধারার ঘনযোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে,

ধারাটি `1^3+2^3+3^3+4^3+----+n^3` এর মতো হলে।

সূত্র: ধারার সমষ্টি `(S)={\frac{n(n+1)}\2\}^2` [যেখানে, n = শেষ সংখ্যা]

সূত্রের প্রয়োগ

১।  `1^3+2^3+3^3+4^3+----+10^3`= কত? [থানা সহকারী শিক্ষা অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা-২০১০]

ক) 3025 খ) 2530 গ) 2540 ঘ) 2545 

শর্ট টেকনিক:

এখানে,

ধারার সমষ্টি `(S)={\frac{n(n+1)}\2\}^2`

`(S)=(\frac{10\times11}\2)^2` [শেষ সংখ্যা = 10]

`=(55)^2`

`=3025` (Ans.)

 

২। `1^3+2^3+3^3+----+20^2`= কত? [দুর্নীতি দমন পরিদর্শক পরীক্ষা-২০০৪; মাদক অধিদপ্তর-২০১২]

ক) 44100 খ) 44000 গ) 44200 (ঘ) উপরের কোনটাই সত্য নয়।

শর্ট টেকনিক:

ধারার সমষ্টি `(S)={\frac{n(n+1)}\2\}^2`

`=(\frac{20\times21}\2)^2` [শেষ সংখ্যা = 20]

`=210^2`

`=44100` (Ans.)

সূত্র-১১: গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি (সমানুপাতের ক্ষেত্রে)

সূত্র: `(S)=\frac{a(q^n-1)}\{q-1}`

[যেখানে, q > 1; a = ১ম পদ;

n = পদ সংখ্যা; q = সাধারণ অনুপাত

সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ ÷ ১ম পদ](alert-success)

সূত্রের প্রয়োগ:

১. 2+6+18+---- ধারাটির প্রথম ৪টি পদের সমষ্টি কত? [সমাজকল্যান সংগঠক পরীক্ষা-২০০৭]

ক) 6520 খ) 6530 গ) 6540 ঘ) 6560

 

শর্ট টেকনিক:

ধারার সমষ্টি `(S)=\frac{a(q^n-1)}\{q-1}`

`=\frac{2(3^8-1)}\{3-1}`

`=\frac{2(6561-1)}\{2}`

`=6560`

সূত্র-১২: গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি (সমানুপাতের ক্ষেত্রে)

সূত্র: সমষ্টি `(S)=\frac{a(1-q^n)}\{1-q}`

[যেখানে, q<1; a=১ম পদ;

n=পদ সংখ্যা; q=সাধারণ অনুপাত

সাধারণ অনুপাত=২য় পদ ÷ ১ম পদ](alert-success)

 

সূত্রের প্রয়োগ:

১। 2-4+8-16+---- ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

ক) 65 খ) 63 গ) 64 ঘ) 86

শর্ট টেকনিক:

ধারার সমষ্টি `(S)=\frac{a(1-q^n)}\{1-q}`

`=\frac{2\{1-{(-2)}^7\}}\{1-(-2)}`

`=\frac{2\{1-(-128)\}}\{1+2}`

`=\frac{2(1+128)}\3`

`=\frac{2\times129}\3`

 

এখানে, সাধারণ অনুপাত,

q = ২য় পদ ÷ ১ম পদ

= -4÷2

=-2

১ম পদ ‍a=2;

পদ সংখ্যা n=7(alert-success)

সূত্র-১৩: গুণোত্তর ধারার n তম পদ (সমানুপাতের ক্ষেত্রে)

সূত্র: n তম পদ =`aq^{n-1}`

[যেখানে, a = ১ম পদ; n = পদ সংখ্যা; q = সাধারণ অনুপাত]

সূত্রের প্রয়োগ:

১। `\frac1{\sqrt2},1,2` ধারাটির কোন পদ `8\sqrt2` [বিমান ও প্রশাসনিক কর্মকর্তা পরীক্ষা-২০০৫]

ক) ১০ তম, খ) ১২ তম গ) ৯ তম ঘ) ১১ তম

 

সমাধান:

মনেকরি, ধারাটির n তম পদ = `8\sqrt2` 

শর্তমতে,

`aq^{n-1}=8\sqrt2`

বা, `\frac1\sqrt2.(\sqrt2)^{n-1}=8\sqrt2`

বা, `(\sqrt2)^{n-1}=8.2`

বা, `(\sqrt2)^{n-1}=\left(\sqrt2\right)^8`

বা, `n-1=8`

বা, `n=8+1`

বা, `n=9` (Ans.)

সূত্র-১৪: পরপর পূর্ণসংখ্যা দেওয়া থাকলে প্রথম/ শেষ nটি সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-

সূত্র: `S_2=S_1+n^2`

সহজ ভাবে বলা যায়, নির্ণেয় যোগফল = প্রদত্ত যোগফল + মিল সংখ্যাটির বর্গ

এখানে,

`S_1` = প্রথম nটি সংখ্যার যোগফল

`S_2` = শেষ nটি সংখ্যার যোগফল

`n` = মিল সংখ্যা (১০টি ভেঙ্গে ৫-৫, ৬টি ভেঙ্গে ৩-৩ ইত্যাদি)/ যে কয়টি সংখ্যার যোগফল বের করতে হবে।(alert-success)

সূত্রের প্রয়োগ:

১। ছয়টি পরপর পূর্ণ সংখ্যা দেয়া আছে। ১ম ৩টির যোগফল ২৭ হলে শেষ ৩টির যোগফল কত? [সাব রেজিষ্টার-২০০১]

ক) ৩৬ খ) ৩৩ গ) ৩২ (ঘ) ৩০

শর্ট টেকনিক :

এখানে,

১ম পদ, a = 27; মিল সংখ্যা =3

সুতরাং, নির্ণেয় যোগফল = প্রদত্ত যোগফল + মিল সংখ্যার বর্গ

`=27+3^2`

`=27+9`

`=36` (Ans.)

জেনারেল মেথডঃ

ধরি, পরপর ছয়টি পূর্ণ সংখ্যা-

x, (x + 1), (x + 2), (x+3), (x+4), (x + 5)

১ম ৩টি পূর্ণসংখ্যার যোগফল = x + (x+1) + (x+2)

= 3x + 3

আবার,

শেষ ৩টি পূর্ণসংখ্যার যোগফল = (x+3) + (x+4) + (x+5)

= 3x + 12

প্রশ্নমতে, 

3x + 3 = 27

বা, 3x = 27 - 3

বা, 3x = 24

বা, x = 8

সুতরাং, শেষ ৩টি সংখ্যার যোগফল = 3 × 8 + 12 = 36 (উত্তর)

২। পরপর ১০ টি সংখ্যার ১ম ৫টি সংখ্যার যোগফল ৫৬০ হলে শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল কত? [১৮ তম বিসিএস]

(ক) ৫৪০ (খ) ৫৬০ (গ) ৫৮৫

শর্ট টেকনিক:

ক) ৫৪০ খ) ৫৬০ গ) ৫৮৫ ঘ) ৫৭০

শেষ ৫টির যোগফল `S_2=S_1+n^2`

`=560+5^2`

`=560+25`

`=585` (উত্তর)

এখানে, `S_1` = ১ম ৫টির যোগফল = ৫৬০; `n` = ৫ (মিল সংখ্যা)

সূত্র-১৫: পরপর কয়েকটি পূর্ণ সংখ্যার যোগফল দেওয়া থাকলে এবং সংখ্যাগুলো নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে মধ্য সংখ্যাটি বের করে নিতে হয়। 

[উল্লেখ্য এক্ষেত্রে ১৪নং সূত্রের মত ১ম ৩টি ----- শেষ ৩টি; ১ম ৫টি শেষ ৫টি ইত্যাদি থাকে না।]

 সূত্র: মধ্য সংখ্যা = প্রদত্ত যোগফল ÷ যে কয়টি সংখ্যা

উদাহরণ :

১। পরপর ৫টি পূর্ণ সংখ্যার যোগফল ১০৫।

• (i)              ১ম দুটি সংখ্যার যোগফল কত?
• (ii)            শেষ ৩টি সংখ্যার যোগফল কত?
• (iii)           পঞ্চম সংখ্যাটি কত?
• (iv)           শেষ দুটি সংখ্যার গুণফল কত?
• (v)            ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

 

শর্ট টেকনিকঃ

মধ্য সংখ্যা = প্রদত্ত যোগফল ÷ যে কয়টি সংখ্যা

মধ্য সংখ্যা = ১০৫ ÷ ৫ = ২১

যেহেতু মধ্য সংখ্যা ২১ এবং সংখ্যাগুলো ক্রমিক (পরপর)

সুতরাং সংখ্যাগুলো হবে: ১৯, ২০, (২১) ২২, ২৩ [মধ্য সংখ্যা ২১]

• (i) ১ম দুটি সংখ্যার যোগফল = ১৯ + ২০ = ৩৯
• (ii) শেষ ৩টি সংখ্যার যোগফল = ২১ + ২২ + ২৩ = ৬৬
• (iii) পঞ্চম সংখ্যাটি = ২৩
• (iv) শেষ দুটি সংখ্যার গুণফল = ২২ × ২৩ = ৫০৬
• (v) ষষ্ঠ সংখ্যাটি = ২৩ + ১ = ২৪ (যেহেতু পরপর সংখ্যা)

 

২। পরপর ৫টি পূর্ণসংখ্যার যোগফল ১০৫। ১ম দুটি সংখ্যার যোগফল কত? [বাংলাদেশ কমার্শিয়াল ব্যাংক জুনিয়র অফিসার-০৮]

(ক) ৩৯ (খ) ২১ (গ) ১৯ (ঘ) ৪১

 

শর্ট টেকনিক:

মধ্যসংখ্যা = ১০৫ ÷ ৫ = ২১

সুতরাং, সংখ্যা পাঁচটি হলো- ১৯, ২০, ২১, ২২, ২৩

কাজেই, ১ম দুটি সংখ্যার যোগফল = ১৯ + ২০ = ৩৯ (উত্তর)

৩। তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির গুণফল কত? [বাংলাদেশ ব্যাংক এ.ডি-০৪]

(ক) ৬২৫ (খ) ৭০০ (গ) ১৬০০ (ঘ) ১৬৪০

শর্ট টেকনিক:

মধ্যসংখ্যা = ১২৩ ÷ ৩ = ৪১

সংখ্যা ৩টি = ৪০, (৪১), ৪২ [মধ্য সংখ্যা ৪১]

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির গুণফল = ৪০ × ৪১ = ১৬৪০ (উত্তর)